Números, porcentajes, proporciones, escala
Contar lo que dice la etiqueta
El ENEM rara vez pregunta “cuánto es 2 + 2”. Pregunta el total a partir da porção: 2 porciones de 20 g de azúcar son 40 g en la botella, no “el jugo más sano”. Primero las unidades, después la aritmética.
Porcentajes como mezcla
Si 8 L de limonada son 99,75 % de agua, hay 7,98 L de agua. Cuando se retira solo agua, la pulpa no se mueve. La nueva fracción es la nueva agua sobre el nuevo volumen. Trampa: restar 0,25 puntos porcentuales como si fueran litros.
Pérdida constante
El camión pierde siempre el mismo volumen — independente da quantidade. Duplicaste el pedido: la pérdida es la misma, hay que embarcar pedido más pérdida.
Escala y unidades
Escala 1 : 300 significa 1 cm en el papel = 300 cm en el muro. Convierte todo a metros primero (8 cm = 0,08 m). 1 mL = 1 cm³; quien divide 18 000 cm³ entre “200 litros” falla por tres órdenes.
| Qué dan | Qué hacer |
|---|---|
| g por porción × porciones | sumar al total del envase |
| % y litros | pasar % a litros, luego la ecuación |
| cm en pantalla y 1 : n | multiplicar por n |
| cm³ y mL | 1 = 1, luego dividir |
En el examen: antes de calcular, pregunta “¿esto es fracción de qué?” y “¿en qué unidad va la respuesta”.
Geometría plana: longitud, área, lugar geométrico
Una pista alrededor de un círculo
La circunferência mide 2πr. Si “un punto está cubierto cuando un educador está a lo sumo a 150 m por la pista”, una persona cubre 300 m. El mínimo de personas es la longitud dividida entre 300. En el ENEM π suele ser 3 o 3,1 — el del enunciado, no el “verdadero” 3,14.
Áreas que comparan proyectos
Semicírculo de radio r: (1/2)πr². Dos semicírculos chicos casi siempre miden menos que uno grande del mismo diámetro total: el crece con el cuadrado del radio. “Un túnel para todos” saca más roca que dos estrechos.
Mediatriz
La mediatriz de AB es la recta por el punto medio, perpendicular a AB. Es el lugar dos pontos equidistantes de A y B. Si AB tiene pendiente m, la tiene −1/m. No la confundas con la propia AB.
Malla de manzanas
Norte arriba, este a la derecha. “Caminar al oeste y girar a la derecha” mira al norte. Para hallar la casa, deshaz el camino desde la casa de la amiga.
Trampa: tomar el diámetro en vez del radio, o cubrir solo un lado del punto.
Espacio: poliedros, volumen, empaque
Lo que se ve después de pegar
Pegar la base de una pirámide a la de un : la cara interior no se pinta. Congruência: caras iguales, un color. Un octogonal recto pegado a un tronco de pirámide octogonal deja cuatro clases: octógono grande, octógono chico, rectángulos, trapecios.
Contar vértices en el desarrollo
El desarrollo no miente si no cuentas el pegado dos veces. Octógono + 8 cuadrados + 8 triángulos que se juntan en un vértice: 8 (abajo) + 8 (cinturón) + 1 (arriba) = 17. Comprueba con Euler: V − A + F = 2.
Volumen de un “anillo”
La medalla es un cilindro bajo. El oro es el menos un cuadrado cuya diagonal es el diámetro. Pasa milímetros a centímetros antes de multiplicar.
Empaque
Tarta cilíndrica de radio 14 cm en caja cuadrada con 2 cm de holgura: arista ≥ 28 + 4. La altura de la caja se mira aparte: ya puede alcanzar.
Coordenadas: acercarse al plano yz baja x; alejarse de xz sube y.
Trampa: pintar la cara pegada, u olvidar que el diámetro del cuadrado es la diagonal, no el lado.
Funciones, gráficos, logaritmo, tangente
Primero la forma, después la fórmula
Gráfico de pulso: horizontal, baja, otra vez horizontal. La pregunta “a partir de t1” es el trozo después de t1, no toda la vida de la función. Diretamente proporcional es una recta por el origen; inversamente, una rama de hipérbola. Una constante a trozos después de la bajada no es ninguna de las dos.
Encajar la tangente
Tangente como D = k + tg[p(T − m)]. La vale cero donde el argumento es 0: en T = m, D = k. Las assíntotas verticales caen en T = m + π/(2p) + nπ/p. Mira por qué punto pasa la curva y dónde está el punteado.
Logaritmo y máximo
La inequación 2 log(K · f(t)) ≤ 8 en base 10 da K · f(t) ≤ 10⁴. Para el mayor K, toma el máximo de f en el intervalo de uso. Para (t+2)(12−t) el vértice de la parábola es donde la derivada se anula (t = 5), si cae en [0, 8].
Dos gráficos de rendimiento
El rendimento en km/L se lee a la velocidad dada. Mitad del camino en cada combustible: dos divisiones, dos multiplicaciones por el precio, luego la diferencia.
Trampa: leer el pico del gráfico en vez de la velocidad del viaje.
Estadística y lectura de gráficos
Tres promedios, tres preguntas
La média aritmética siente el atípico. La mediana es el centro de la lista ordenada (si n es par, la media de los dos centrales). La moda es lo más frecuente. Un desvio padrão chico con la misma media casi garantiza que todos los valores caben en un intervalo estrecho; uno grande, no.
Para “la mayoría de las edades entre 40 y 50”, basta una media 45 y un desvío 0,8. Una 45 sola, una 45 sola o una amplitud 38–61 no alcanzan.
Barras más línea, pizza más barras
Stock frente a demanda: se encarga solo el sabor cuya barra queda por debajo de la línea. La mayor demanda es otra pregunta.
La pizza del año pasado da porcentajes; las barras de este año dan un total nuevo. Aplica los porcentajes viejos al total nuevo: no copies la barra del año pasado.
Un hueco en el gráfico
Si falta una modalidad en una serie, la pizza suele dar su suma en la escuela. Resta los trozos conocidos, rellena el hueco y suma a todos.
Trampa: responder “la barra más alta” a “dónde el stock está bajo la demanda”.
Combinatoria, probabilidad, modelos de dinero
A veces el orden importa
Permutação: presidente, secretario, tesorero — los cargos son distintos, 16 × 14 × 12 si como máximo una persona por pareja. Combinação: tres libros al mayor — el orden dentro del manojo no importa, C(n, k).
La restricción “o el atlas o el diccionario, no los dos” parte el espacio en dos casos simétricos. Cuenta el total sin restricción y recorta lo prohibido — o cuenta lo permitido de una vez.
Probabilidad de que “todos recibieron lo suyo”
Sobres al azar: 1 / n!. Dos dados contra uno, victoria solo si es estrictamente mayor: recorre 6³ = 216 celdas. Un empate regalado al rival cambia la clave.
Producto de fracciones: 80 % usa la app, y de esos el 25 % tiene más de 60. Lo pedido es 0,80 · 0,25, no 25/80.
Dinero sin intereses
Parcela sin juros: n cuotas iguales de V son V/n. Dos planes con el mismo total dan una ecuación en n. Lucro = recaudado − gasto; el porcentaje del seguro se aplica antes de escribir la ecuación de la nueva cuota.
Iteración en círculo: quien está en 1 entrega 2 y recibe 5, saldo +3 por ronda. Tras n rondas: inicio + 3n.
Trampa: 16 × 15 × 14, olvidando sacar a la pareja; o tomar “k veces” por una suma.